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贝叶斯概率

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基础知识

  • 条件概率:
    P(BA)=P(AB)P(A)P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}
  1. 问:

    昨晚有同学请我吃饭,喝多了睡一觉后不记得是男同学还是女同学,我们学校男生占比60%,女生占比40%,男同学请我吃饭的概率为20%,女同学请我吃饭的概率为25%,请问是男同学请我吃饭的概率是多少?

    最直觉的解法,男生请吃饭的事件概率/请我吃饭的事件概率的和

    P(男生请吃饭)=0.6*0.20 = 0.12

    P(女生请吃饭)=0.4*0.25 = 0.10

    P(请我吃饭)=P(男生请吃饭) + P(女生请吃饭) = 0.12 + 0.10 = 0.22
    0.22为概率和,那么男女生都不请我吃饭的概率为0.78

    接下来算出男生请吃饭的占所有请吃饭情况的占比:
    P(请我吃饭的是男生) = P(男生请吃饭)/P(请我吃饭) = 0.12/0.22 = 0.54
    概率为54%。
    算出的0.12和0.10这两个概率,是所有情况下的概率,包括了男女生不请吃饭的情况。按照要求,男生请吃饭的概率,所以要除以0.22吃饭概率。


    叶贝斯概率来解决。首先,要知道先验概率,也就是在不知道是谁请你吃饭的情况下,对男同学和女同学的概率的猜测。根据提供的信息,可以假设的先验概率是:

    • 男同学的先验概率 = 0.6
    • 女同学的先验概率 = 0.4

    然后,要知道调整因子,也就是根据请你吃饭的概率对男同学和女同学的概率的修正。根据提供的信息,我们可以假设调整因子是:

    • 男同学请你吃饭的条件概率 = 0.2
    • 女同学请你吃饭的条件概率 = 0.25

    最后,要用先验概率乘以调整因子,得到后验概率, 也就是根据请你吃饭的信息对男同学和女同学的概率的最新估计。根据叶贝斯公式,我们可以计算出:

    男同学的后验概率 = 0.6 * 0.2 = 0.12
    女同学的后验概率 = 0.4 * 0.25 = 0.1
    这些数字加起来不一定等于1,因为它们只表示相对大小。为了得到标准化后验概率,你要把它们除以总和(0.22),得到:

    • 男同学的标准化后验概率 = 0.12 / 0.22 = 0.545
    • 女同学的标准化后验概率 = 0.1 / 0.22 = 0.455

    通过这个过程,可以看出,在请你吃饭的信息下,是男同学请你吃饭的概率是多少了。 从后验概率来看,你发现是男同学请你吃饭的可能性稍微大一些,大约是54.5%。当然,这个结果并不一定准确,因为它依赖于你对先验概率和调整因子的假设。如果你有更多或更准确的信息,你可以用叶贝斯公式来更新和修正你的估计。

    叶贝斯概率是一种用来计算事件发生的可能性的方法,它是基于已知的信息和条件,不断更新和修正原来的判断。叶贝斯概率的核心思想是:后验概率 = 先验概率 * 调整因子,也就是说,我们可以根据新的证据或数据,来调整我们之前对事件发生的概率的估计。

  2. 问:

    有一栏美国的电视有奖问答节目,有三扇门让选手选择,只有一扇门后面有跑车,另外两扇是空门,主持人会让选手选择一扇门,然后打开另外两扇中的一扇空门,排除一个错误答案。这时候主持人会询问选手是否更改选择。更改选择的获奖概率是多少?

    大部分人的直觉是换不换门,抽到跑车的概率都是1/3,然而结果并不是这样。不换门概率是1/3,换门概率是2/3, 下面用树状图列出所有可能。

    S表示开始
    A,B,C表示三扇门,假设跑车在A门后面。

    • 选择A门
      选手选A门,主持人可以打开B、C任意一扇门,概率是等同的1/2。主持人开门后, 选手面临是否开门的抉择,概率也是1/2。

      1. 主持人开B门
        换门:A -> B -> C = 131212=112\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}

        不换门:A -> B -> A = 131212=112\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12} (🎉获奖)

      2. 主持人开C门
        换门:A -> C -> B = 131212=112\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}

        不换门:A -> C -> A = 131212=112\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12} (🎉获奖)

    • 选择B门 选手选择B门后,主持人只能打开C门,因为A门有跑车,所以主持人开C门的概率是1
      换门:B -> C -> A = 13112=16\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} (🎉获奖)

      不换门:B -> C -> B = 13112=16\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}

    • 选择C门 选手选择C门后,主持人只能打开B门,因为A门有跑车,所以主持人开B门的概率是1
      换门:C -> B -> A = 13112=16\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} (🎉获奖)

      不换门:C -> B -> B = 13112=16\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}

    所有情况列出来后就非常清晰了,

    换门后获奖的概率(在获奖的条件下,换门的概率)=换门条件下获奖的概率和获奖的概率和换门后获奖的概率(在获奖的条件下,换门的概率) = \dfrac{换门条件下获奖的概率和}{获奖的概率和}

    16+16112+112+16+16=23 \dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} }{ \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} } = \dfrac{2}{3}

    这其实是贝叶斯概率公式。 P(BA)=P(AB)P(B)P(B)P(B|A) = \dfrac{P(A|B)*P(B)}{P(B)}


    另一种算法113=231 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} ,刚开始选择任意一扇门的获奖概率都是1/3,比如A门,那么不获奖的概率就是2/3, 也意味着选择另外两扇门的获奖概率是2/3。
    主持人会排除掉一扇门,可以理解为把两扇门合二为一了,2/3的概率集中到另一扇门上面。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/350514383

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