贝叶斯概率

基础知识

• 条件概率:
  $P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$

1. 问：

   昨晚有同学请我吃饭，喝多了睡一觉后不记得是男同学还是女同学，我们学校男生占比60%，女生占比40%，男同学请我吃饭的概率为20%，女同学请我吃饭的概率为25%，请问是男同学请我吃饭的概率是多少？

   最直觉的解法，男生请吃饭的事件概率/请我吃饭的事件概率的和

   P(男生请吃饭)=0.6*0.20 = 0.12

   P(女生请吃饭)=0.4*0.25 = 0.10

   P(请我吃饭)=P(男生请吃饭) + P(女生请吃饭) = 0.12 + 0.10 = 0.22
   0.22为概率和，那么男女生都不请我吃饭的概率为0.78

   接下来算出男生请吃饭的占所有请吃饭情况的占比：
   P(请我吃饭的是男生) = P(男生请吃饭)/P(请我吃饭) = 0.12/0.22 = 0.54
   概率为54%。
   算出的0.12和0.10这两个概率，是所有情况下的概率，包括了男女生不请吃饭的情况。按照要求，男生请吃饭的概率，所以要除以0.22吃饭概率。

   ---

   用叶贝斯概率来解决。首先，要知道先验概率，也就是在不知道是谁请你吃饭的情况下，对男同学和女同学的概率的猜测。根据提供的信息，可以假设的先验概率是：

   • 男同学的先验概率 = 0.6
   • 女同学的先验概率 = 0.4

   然后，要知道调整因子，也就是根据请你吃饭的概率对男同学和女同学的概率的修正。根据提供的信息，我们可以假设调整因子是：

   • 男同学请你吃饭的条件概率 = 0.2
   • 女同学请你吃饭的条件概率 = 0.25

   最后，要用先验概率乘以调整因子，得到后验概率， 也就是根据请你吃饭的信息对男同学和女同学的概率的最新估计。根据叶贝斯公式，我们可以计算出：

   男同学的后验概率 = 0.6 * 0.2 = 0.12
   女同学的后验概率 = 0.4 * 0.25 = 0.1
   这些数字加起来不一定等于1，因为它们只表示相对大小。为了得到标准化后验概率，你要把它们除以总和（0.22），得到：

   • 男同学的标准化后验概率 = 0.12 / 0.22 = 0.545
   • 女同学的标准化后验概率 = 0.1 / 0.22 = 0.455

   通过这个过程，可以看出，在请你吃饭的信息下，是男同学请你吃饭的概率是多少了。 从后验概率来看，你发现是男同学请你吃饭的可能性稍微大一些，大约是54.5%。当然，这个结果并不一定准确，因为它依赖于你对先验概率和调整因子的假设。如果你有更多或更准确的信息，你可以用叶贝斯公式来更新和修正你的估计。

   叶贝斯概率是一种用来计算事件发生的可能性的方法，它是基于已知的信息和条件，不断更新和修正原来的判断。叶贝斯概率的核心思想是：后验概率 = 先验概率 * 调整因子，也就是说，我们可以根据新的证据或数据，来调整我们之前对事件发生的概率的估计。

2. 问：

   有一栏美国的电视有奖问答节目，有三扇门让选手选择，只有一扇门后面有跑车，另外两扇是空门，主持人会让选手选择一扇门，然后打开另外两扇中的一扇空门，排除一个错误答案。这时候主持人会询问选手是否更改选择。更改选择的获奖概率是多少？

   大部分人的直觉是换不换门，抽到跑车的概率都是1/3，然而结果并不是这样。不换门概率是1/3，换门概率是2/3， 下面用树状图列出所有可能。

   S表示开始
   A,B,C表示三扇门，假设跑车在A门后面。

   

   • 选择A门
     选手选A门，主持人可以打开B、C任意一扇门，概率是等同的1/2。主持人开门后， 选手面临是否开门的抉择，概率也是1/2。

     1. 主持人开B门
        换门：A -> B -> C = $\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$

        不换门：A -> B -> A = $\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$ (🎉获奖)

     2. 主持人开C门
        换门：A -> C -> B = $\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$

        不换门：A -> C -> A = $\dfrac{1}{3} * \dfrac{1}{2} * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$ (🎉获奖)

   • 选择B门 选手选择B门后，主持人只能打开C门，因为A门有跑车，所以主持人开C门的概率是1
     换门：B -> C -> A = $\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ (🎉获奖)

     不换门：B -> C -> B = $\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$

   • 选择C门 选手选择C门后，主持人只能打开B门，因为A门有跑车，所以主持人开B门的概率是1
     换门：C -> B -> A = $\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ (🎉获奖)

     不换门：C -> B -> B = $\dfrac{1}{3} * 1 * \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$

   所有情况列出来后就非常清晰了，

   $换门后获奖的概率(在获奖的条件下，换门的概率) = \dfrac{换门条件下获奖的概率和}{获奖的概率和}$

   $\dfrac{ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} }{ \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} } = \dfrac{2}{3}$

   这其实是贝叶斯概率公式。 $P(B|A) = \dfrac{P(A|B)*P(B)}{P(B)}$

   ---

   另一种算法$1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ ，刚开始选择任意一扇门的获奖概率都是1/3，比如A门，那么不获奖的概率就是2/3， 也意味着选择另外两扇门的获奖概率是2/3。
   主持人会排除掉一扇门，可以理解为把两扇门合二为一了，2/3的概率集中到另一扇门上面。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/350514383

可视化统计学-书